<<线性代数>> 第一章笔记

在 Mon 14 March 2016 发布于 线性代数 分类

形如:

$$ a_{1}x_{1} + a_{2}x{2} + ... + a_{n}x_{n} = b$$

的方程称为含有n个未知量的线性方程。 含有m个方程和n个未知量的线性方程组定义为:

$$ a_{11}x_{1} + a_{12}x{2} + ... + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ a_{21}x_{1} + a_{22}x{2} + ... + a_{2n}x_{n} = b_{2}\\ ...\\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x{2} + ... + a_{mn}x_{n} = b_{m} $$

其中\(a_{ij}\)\(b_{i}\)均为实数,上述线性方程组又称之为\(m \times n\)方程组。该线性方程组的所有解的集合为该线西方程组的解集。若该线性方程组无解,则称该线性方程组不相容,若有且只有一个解或者无穷多个解,则称该线性方程组相容。

若两个\(m \times n\)的线性方程组具有相同的解集,则称他们是等价方程组。

一个方程组可以通过以下三种运算得到一个等价的方程组:

  1. 交换任意两个方程的顺序

  2. 任一方程的两边同乘一个非零的实数

  3. 任一方程的倍数加到另一方程上

若方程组中,第\(k\)个方程的前\(k-1\)个变量的系数均为零,且\(x_{k}(k=1, ..., n)\)的系数不为零,则称该方程组为严格三角像方程组。且该方程组只有一个解。 例如:

$$ 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 1\\ x_{2} - x_{3} = 2\\ 2x_{2} = 4\\ $$

其之下而上的求解严格三角形方程的方法为回代。 现有有线性方程组如下:

$$x + 2y + z = 2\\ 3x +8y + z = 12\\ 4y + z = 2$$

给出其求解过程: 第二个方程减掉第一个方程乘以3后的方程,原方程组变为:

$$ x + 2y + z =2\\ y - z = 3\\ 4y + z = 2 $$

第三个方程减掉第2个方程乘以4后的方程,原方程组变为:

$$ x + 2y + z = 2\\ y - z = 3\\ 5z = -10 $$

现在这个方程组变成了严格三角形方程组,求解就很容易了。对于上面的步骤,第一次我们使用第一行将其他各行的第一列给消去,第二次使用第二行把其他各行的第二列给消去(不包括第一行), 我们称样的行为主行,主行的第一各非零元属为主元,主元永不为零。 对于上述方程组,我们可以把等式左边的参数看成是一个\(3 \times 3\)的矩阵:

$$ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array} \right] $$

如果在把等式右边的结果加上,如下:

$$ \left[ \left. \begin{array}{cc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array} \right| \begin{array}{cc} 2 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] $$

这样的矩阵称为增广矩阵。

\(a_{ij}\)表示矩阵\(A\)的第\(i\)行和第\(j\)列的元属, 一个\(m \times n\)的矩阵表示为:

$$ A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ &...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right] $$

列向量(\(n \times 1\)的矩阵)称为n维欧几里得空间,通常记为\(R^{n}\),列向量表示为:

$$ x = \left[ \begin{array}{cc} a_{1} \\ a_{2}\\ ...\\ a_{n} \end{array} \right] $$

但是对于\(1 \times n\)的行向量,其表示为:

$$ \vec{x} = \left( \begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ \end{array} \right) $$

矩阵\(A\)的行向量可以表示为:

$$ \vec{x_{i}} = \left( \begin{array}{cc} a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\\ \end{array} \right) , i = 1, ..., m $$

同时, 列向量可以表示为:

$$ x_{j} = \left[ \begin{array}{cc} a_{1j} \\ a_{2j}\\ ...\\ a_{mj} \end{array} \right] , j = 1, ..., n $$

矩阵\(A\)可以用它的列向量和行向量表示,

$$ A = \left( \begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ \end{array} \right) 或 A = \left[ \begin{array}{cc} \vec{a_{1}} \\ \vec{a_{2}}\\ ...\\ \vec{a_{m}} \end{array} \right] $$

还以\(m \times n\)方程组为例子,矩阵\(A\)为其参数矩阵, \(x\)为其未知量矩阵,\(b\)为其结果矩阵:

$$ A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ &...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{array} \right] , x = \left[ \begin{array}{cc} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n}\\ \end{array} \right] , b = \left[ \begin{array}{cc} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{n}\\ \end{array} \right] $$

有:

$$ Ax = b $$

$$ Ax = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} x_{1} + a_{12}x_{2} + ... + a_{1n}x{n} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ... + a_{2n}x{n} \\ ...\\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ... + a_{mn}x_{n} \\ \end{array} \right]=x_{1} \left[ \begin{array}{cc} a_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{m1}\\ \end{array} \right] +\\ x_{2} \left[ a_{12}\\ a_{22}\\ ...\\ a_{m2} \right]+ ... +x_{n} \left[ a_{1n}\\ a_{2n}\\ ...\\ a_{mn} \right] $$

因此有:

$$ Ax = x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + ... + x_{n}a_{n} $$

此公式也称为向量\(a_{1}, a_{2}, ... a_{n}\)的一个线性组合

\(A\)为一个\(m \times n\) 的矩阵, 且\(x\)\(R^{n}\)中的一个向量则

$$ Ax = x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + ... + x_{n}a_{n} $$

更为一般的若矩阵\(A\)的列数等于矩阵\(B\)的行数,则矩阵\(A\)可以和矩阵\(B\)相乘,所以乘积的第一列由矩阵\(B\)的第一列求出:

$$ AB = \left( Ab_{1}, Ab_{2}, ..., Ab_{n} \right) $$

\(AB\)\((i, j)\)元素为\(A\)的第\(i\)个行向量乘以\(B\)的第\(j\)个列向量的到的,定义\(A\)\(m \times n\)的矩阵, \(B\)\(n \times r\)的矩阵, \(C = AB\)\(m \times r\)的矩阵:

$$ c_{ij} = \vec{a_{i}}b_{j} = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj} $$

\(A^{T}\)为矩阵\(A\)的转置矩阵, \(A^{-1}\)为矩阵\(A\)的逆矩阵 公式:

$$ A + B = B + A\\ (A + B) + C = A + ( B + C)\\ (AB)C = A(BC)\\ A(B + C) = AB + AC\\ (A + B)C = AC + BC\\ (ab)A = a(bA)\\ a(AB) = (aA)B = A(aB)\\ (a + b)A = aA + aB\\ a(A + B) = aA + aB $$

一般来讲 , \(AB \neq BA\) 矩阵乘法不满足交换律 \(n \times n\)的单位矩阵, 常用\(I\)表示, 单位矩阵\(a_{ij}\)元素的值为:

$$ a_{ij} = 1 , i = j\\ a_{ij} = 0, i \neq j $$

单位矩阵有\(IA = AI = A\)的性质

若存在一个矩阵\(B\)使的\(AB = BA = I\),则称\(n \times n\)的矩阵\(A\)是非奇异或者可逆,矩阵\(B\)称为矩阵\(A\)的乘法逆元。非奇异矩阵\(A\)的乘法逆元简称\(A\)的逆,记为\(A^{-1}\)。且最多只有一个乘法逆元。若不存在乘法逆元,则称矩阵\(A\)为奇异的。 只有方阵有乘法逆元。奇异和非奇异只适用于方阵。 若\(A_{1}, A_{2}, A_{3}, ..., A_{k}\)均为\(m \times n\)的非奇异矩阵,则乘积\(A_{1}A_{2}...A_{k}\)为非奇异的, 且:

$$ (A_{1}A_{2}...A{k})^{-1} = A_{k}^{-1}...A_{2}^{-1}A_{1}^{-1} $$

公式:

$$ (A^{T})^{T} = A\\ (aA)^{T} = aA^{T}\\ (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}\\ (AB)^{T} = B^{T}A^{T}\\ AA^{T} = (AA^{T})^{T}(对称矩阵) $$

如果从单位矩阵\(I\)开始,只进行一次初等行运算,得到的矩阵称之为初等矩阵 可以知道的是有三类初等矩阵 第一类:交换初等矩阵的两行

$$ E_{1} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right] $$

第二类:初等矩阵由单位矩阵\(I\)的某一行乘以一个非零的常数得到

$$ E_{1} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right] $$

第三类: 初等矩阵由单位矩阵\(I\)的某一行的倍数加到另一行得到

$$ E_{1} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right] $$

现有矩阵\(A\), 初等矩阵\(E\)。若\(EA\),其作用是对\(A\)进行相应的行运算。 若\(AE\),其作用是对\(A\)进行相应的列运算。 若存在一个有限初等矩阵的序列\(E_{1}, E_{2}, ... ,E_{k}\), 使的

$$ B = E_{k-1}E_{k-2}...E_{1}A $$

则称\(A\)\(B\)是行等价的

给定\(R^{n}\)中的两个向量\(x\)\(y\),矩阵乘积\(x^{T}y\)为标量积或者内积,\(xy^{T}\)称之为\(x\)\(y\)的外积。